جبر بوول المبادئ الاولية ومجالات التوظيف ـ اعداد عبد الرحمن كاظم زيارة

(( جبر بوول ))
المبادئ الاولية ومجالات التوظيف

اعداد / عبد الرحمن كاظم زيارة

المصدر /الرياضيات الاساسية للحاسب ” ليبتز” (شوم) وأخرى .
تمهيد :
المجموعات والقضايا المنطقية لها خواص متشابهة يوضحها جدولا قوانين جبر المجوعات وقوانين جبر القضايا ، و كلا منهما يضم عشرة قوانين مزدوجة طبقا لمبدأ “الثنيوية”. ولقد استخدمت هذه الخواص لبناء نظام رياضياتي سمي بجبر بوول نسبة الى جورج بوول ( 1813 ـ 1864 م) .

1) تعريف جبر بوول

اذا كانت B مجموعة معرّفة عليها العمليتان الثنائيتان : + ، * ، وعملية أحادية هي ” ′ ” فتحة . واذا كان 1,0 عنصرين مختلفين في المجموعة B ، فأن السداسي :
{ , 1,0 ′B, +, * , }
يسمى جبر بوول اذا تحققت المسلمات ” البديهيات ” التالية لأي عناصر a,b,c التي تنتمي الى المجموعة B :
ب(1) قانونا التبادل
a * b = b * a , a+ b = b +a
ب(2) قانونا التوزيع
(a*(b+c)=(a*b)+(a*c) , a+(b*c)=(a+b)*(a+c
ب(3) قانونا المحايد
a* 1= a , a+0 = a
( المحايد وحيد في جبر بوول )
ب(4) قانونا المتمم
a * a′ = 0 , a + a′ = 1
حيث أن : + ، * عمليتا الجمع والضرب على الترتيب ، و” ′ ” ترمز الى المتمم أي أن :a′ متمم a . والعنصران 1,0 احدهما يتمم الآخر .
العنصر 0 يسمى العنصر الصفري ،العنصر 1 يسمى عنصر الوحدة في جبر بوول .

2) مثال : المجموعة {1,0} B = معرفة على العمليتين الثنائيتين + ، * وان عملية الاتمام الاحادية معرفة على النحو : 1′ = 0 , 0′ = 1 فأن B جبر بوول .

3) العمليةالثنائية
في جبر بوول وفي البنى الجبرية أيضا علينا ان نفسر لماذا أن 1+1= 1 ؟
وتفسيره : ان عملية الجمع الثنائية هي عملية “مغلقة” بمعنى انها تنتج عنصرا لابد ان يكون موجودا في المجموعة المعطاة . وهذا يلقي في علمنا ان العمليات الثنائية قد لاتكون عملية الجمع اوالضرب الاعتياديتين . واحيانا تعرف العمليات الثنائية بقاعدة معينة واحيانا تقيـّد بقياس معين غالبا ما يكون اعلى قيمة اذا كانت القيم عدديةاو يمكن التعبير عنها بقيم عددية . ثم ان هذه القيم وان بدت عددية الا انها ربما تكون اتجاهية او معيارية او غير ذلك . وكذلك يمكن احلال حروف اواشياء او متجهات او حتى كائنات معينة محلها ومن بين ذلك الكائنات الرياضياتية . والتقييد بمقياس يعطي وضوحا وتفسيرا لكيفية الاختلاف مثلا بين عملية الجمع الاعتيادي وعمليةالجمع في البنى كما هو الحال في جبر بوول نحو : اذا كانت المجموعة :
{2,4,6,8} X = وان * هي “عملية الضرب بقياس 6 ” فعلينا قبول :
8 * 2= 4 , 4*8= 0, , 2*4=2
ان وجود الصفر من بين النتائج وعدم انتماءه للمجموعة المعطاة يجعل من العملية الثنائية * غير مغلقة .وبتعبير مكافئ ليست داخلية . فأن الكائن الرياضياتي المؤلف من المجموعة المعطاة والعملية الثنائية هي مجرد ” مجموعة مزودة بعملية ” لا اكثر من ذلك ،فهي” ليست نظام ” لأن العملية الثنائية ليست مغلقة ولاتعتبر قانون تشكيل داخلي .. ويلزم عن ذلك انها ليست بنية . وباختصار : النظام الرياضياتي ( مجموعة ، عملية ثنائية داخلية ) يمثل بنية .
[ ملاحظة في الحساب :المقياس 6 يقسم ناتج الضرب التحصيلي اذا كانت قيمته تتجاوز اعلى قيمة في المجموعة فأن باقي القسمة يحل محل ناتج عملية الضرب التحصيلي الاعتيادية في المثال ، ويطبق هذا المبدأ ايضا في العمليات الجبرية للمجموعات وغيرها ].

4) جبر بوول في المنطق
اذا كانت B مجموعة من القضايا المنطقية ” تقارير ” فأنها تمثل جبر بوول بالنسبة للعمليتين الثنائيتين  ، : التخيير والوصل . والنفي  هي العملية الاحادية . القضايا المتكافئة منطقيا في المجموعة هي قضايا لها نفس قيم الحقيقة ويعبر عنها بمتطابقة ، سواء كانت كاذبة منطقيا “تناقض” أو صائبة منطقيا ” تتولوجي ” .

5) جبر بوول في المجموعات
اذا كانت B هي تجمع لمجوعات ” مجموعةالمجموعات ” مغلقا بالنسبة الى عمليتي الاتحاد والتقاطع فأن B جبر بوول حيث المجموعة الخالية هي العنصر الصفري ” 0 “والمجموعة الشاملة هي عنصر الوحدة ” “1 .

6) بنية جبر بوول
اذا كانت المجموعة {1,0} B = وأن ” * ” عملية ثنائية معرّفة على عملية الجمع فأن الزوج المرتب B,*)) زمرة لتحقق الشروط التالية :
ـ العملية * مغلقة ” داخلية ” .( راجع الجدولين في هذه الورقة )
ـ لكل عنصر من عناصر المجموعة له ” نظير ” أي معكوس .( راجع الجدولين في هذه الورقة )
ـ خاصية التجميع ” الدمج ” متحققة .
ـ العنصر المحايد بالنسبة للعملية الثنائية هو العنصر الصفري .
إذن جبر بوول بنية من نوع الزمرة .
أضف الى ذلك أن عملية الجمع إبدالية .. فإذن هي زمرة إبدالية . يمكن اثبات ان جبر بوول طبقا للبديهيات الاربعة هو ” حلقة ” وربما ” حقل ” .

7) جبر بوول في الدارات والصمامات الكهربائية وتبسيطها
في الصمامات الكهربائية :العلاقتان الثنائيتان في هذا المضمار هما : الجمع وتكافئ أداة الربط المنطقية ” أو “ورمزها هو . والضرب وتكافئ أداة الربط المنطقية ” و” الوصل ورمزها هو . وعملية النفي التي يرمزلها وتكافئ عملية الاتمام وهي بلاشك عملية احادية. وينظم ذلك بجداوال الحقيقة المنطقية (ثلاثة جداول ).
في الدارات الكهربائية : فهي ايضا تكوّن جبر بوول وهي اعقد من الصمامات حيث تعالج التقارير المنطقية بأكثر من عمليتين ثنائيتين ويفرز فيها “المدخلات” و”المخرجات” بنفس حالات التكافؤ للصمامات الكهربائية . الصمامات الكهربائية بهذا الوصف هي بنية من نوع ” الحلقة ” ومن نوع ” الحقل ” طبقا لشروطيهما المعروفين . ومنها قابلية توزيع العملية الاولى على الثانية ، واتصاف العملية الثانية بانها تجميعية . ويعبر عنها بالثلاثي ( B , *, +) ، أي ان المجموعة هي نظام رياضياتي مزود بعمليتين ثنائيتين مغلقتين حيث ان الزوج المرتب ( B , * ) زمرة لها كامل مواصفات وشروط الزمرة في (5) اعلاه .

8) الترافق .. مبدأ الترافق :
التقرير المرافق لأي تقرير جبر بوول هو التقرير الذي يحصل بتبديل العمليتين الثنائيتين ” الجمع والضرب ” وتبديل العنصرين المحايدين المناظرين 1,0 في التقرير الاصلي .
مثلا : التقرير المرافق لـ (b = (1+a)*(b+0 هو 0*a)+(b*1) = b) . نقصد بالتقرير هنا عبارة مفيدة المعنى تعبر عن شئ ذي معنى ، ولاحقا قضية منطقية .
عليه : ان مسلمات بوول “متماثلة ” ، لأن المرافق لمجموعة من المسلمات لجبر بوول هي نفسها المجموعة الاصلية للمسلمات . ويتأسس على ذلك النظرية التالية :
نظرية (1) نظرية مبدأ الترافق
ينص مبدأ الترافق على : ان المرافق لأي نظرية في جبر بوول هي أيضا نظرية .
بعبارة أخرى ، اذا كان أي تقرير هو استنتاج من مسلمات جبر بوول فان التقرير المرافق هو ايضا استنتاج من نفس المسلمات حيث ان التقرير المرافق يمكن اثباته باستخدام مرافق كل خطوة من برهان التقرير الاصلي .

9) نظريات اساسية ((باستخدام بديهيات ” مسلمات” بوول ))
النظرية (2) تتضمن اربعة قوانين هي : اللانمو ، المحدودية ، الامتصاص، التجميع.
النظرية (3) تتضمن ثلاثة قوانين : وحدانية المتمم ، متمم المتمم ، والثالث بفرعين هما قانونا المتمم .
النظرية (4) وتنص على قانوني دي مورغان .
ولكل قانون صياغته الرياضياتية المعروفة .
يستمر البناءالنظري لجبر بوول الى تناول علاقتي الاحتواء والترتيب وصيغ تعبير بول الموسعة والمصغرة وغيرها .. اضافة الى” خرائط كارنوف” بمتغيرات مختلفة العدد : متغيران ، ثلاثة متغيرات ، أربعة متغيرات ،…. ووظيفة خرائط كارنوف تبسيط الدارات الكهربائية وكذلك الصمامات الكهربائية او التعبير عنها بدارات وانشاءات اخرى مكافئة وفق قوانين وسياقات مقننة ومعروفة .

10) تطبيقات جبر بوول
التطبيق الاكثر شيوعا هو في الدارات والصمامات الكهربائية لأن بنيتها تتضمن عنصري الوحدة والصفر الدالين على التوصيل والانقطاع . الا ان جبر بوول يمكن ان يعالج الكثير من الموضوعات المختلفة كما رأينا في المجموعات والبنى وهما منطلق التطبيقات المتنوعة شريطةان تكون أمينة على مسلماتها ونظرياتها . وان لايكون التكييف على حساب الدقة العلمية للنظام البديهي لجبر بوول ، كما لاينبغي تكييف الوقائع تكييفا قسريا لكي تبدو ملائمة لشروط جبر بوول . والمطلوب دائما اسقاط النظرية على الوقائع دون عسف وان عدم ملائمة النظرية لواقعة معينة لاختلافهما أي اختلاف ” النظام البديهي للنظرية” مع واقعة ما ، لايجب ان يولد الاحباط فعدم الملائمة هو ايضا ناتج كفيل بالاعتبار ويكون حافزا للتفتيش عن وقائع ملائمة ..واذا كانت الملائمة حاضرة فستكون مدعاة للاستمرار بالبحث والتنقيب والاختبار .

11) ملاحظة ختامية :
جبر بوول هو حصيلة للخصائص المشتركة لـ “جبر المجموعات” و”جبر القضايا” يقوم على بديهيات تعقبها مبرهنات وتقنيات .
جبر المجموعات : هو الجبر الذي يعالج المجموعات عبر العمليات الثنائية المحددة بـ “الاتحاد” و”التقاطع” و العملية الاحادية “الاتمام “.
اما جبر القضايا : فهو يعالج القضايا المركبة باحد ادوات الربط الثنائية : “الوصل” و”التخير” و”الشرط” و”الشرط الثنائي” وعملية احادية هي “النفي” .
ومن الملاحظ ان كل عملية في جبر المجموعات تقابل عملية في جبر القضايا وان صور القوانين في هذين الجبرين متشابهة خلا العمليات التي تدخل ضمنها . بل ان لكل عملية في احدهما تعبير آخر في ثانيهما . وفي كل الاحوال أن مبدأ ” الثنيوية ” عاملا في كليهما .فاذا وجدت متطابقة في جبر المجموعات تتعلق بالاتحاد فهناك ثنيويةلها تتعلق بالتقاطق . وفي جبر القضايا اذا كانت ثمةبنيةمنطقية تتضمن الوصل فهنالك ثنيوية لها تتضمن التخيير ويسمى احيانا بالفصل او التفصيل .

Advertisements